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不背任何公式,掌握余式、因式问题

2019-12-29 12:24:44

理类联考数学的代数部分有一个难点——余式定理,让许多同学望而却步,那如何解决余式、因式的问题呢?大家好,我是都学课堂数学老师王宁,我们今天学习一下不需要背各种公式,如何在考试中快速求解余式、因式问题。

学习指南

首先我们要明确什么叫余式。一个x的最高次幂为n的多项式除以一个x的最高次幂为k的多项式,它的商是一个最高次幂为(n-k)的多项式(商不是我们要讨论的,所以一般直接用g(x)表示),余式的最高次幂最大可能是(k-1)。被除式=除式×商+余式。当余式为0,也就是整除的情况下,就可以说除式是被除式的因式。

题型攻略

一、余式问题

设f(x)为实系数多项式,被x-1除,余数为9,被x-2除,余数为16,则f(x)除以(x-1)(x-2)的余式为(   ).

A. 7x+2   B.7x+3   C.7x+4   D.7x+5   E.2x+7

解析:根据题意,,有 ,设f(x)=(x+1).(x-2).g₃(x)+ax+b,则有 ,解得 ,选A。

秒杀技巧:

把x=1和x=2代入选项中,必须要满足,只有选项A满足。

二、因式问题

已知多项式f(x)=2x⁴-3x³-ax²+7x+b能被x²+x-2整除,则的值是().

A. 1  B. -1  C. 2  D. -2  E. 0

解析:根据题意,f(x)=(x²+x-2).g(x)=(x-1).(x+2).g(x),有,解出a=12,b=6,则 ,选C。

归纳总结

遇到因式定理、余式定理的问题,只需要用除式(因式)、商(用g(x)表示即可)和余式把整个多项式或函数表示出来,取到特殊值列方程组,求解即可。

希望这篇文章对大家做题速度及正确率有一定帮助,祝大家金榜题名!


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